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<!DOCTYPE html>

<title>Simplexe</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading">Simplexe</h1>

</header>

</div>

En <a href="Math%C3%A9matiques" title="Mathématiques">mathématiques</a>, et plus particulièrement en <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">géométrie</a>, un simplexe est une généralisation du <a href="Triangle" title="Triangle">triangle</a> à une <a href="Dimension_d'un_espace_vectoriel" title="Dimension d'un espace vectoriel">dimension</a> quelconque.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Définition">Définition</h2></div>

En <a href="G%C3%A9om%C3%A9trie" title="Géométrie">géométrie</a>, un simplexe ou n-simplexe est l'analogue à n dimensions du triangle. Il doit son nom au fait que c'est l'objet géométrique clos le « plus simple » qui ait n dimensions. Par exemple sur une droite (1 dimension) l'objet le plus simple à 1 dimension est le <a href="Segment_(math%C3%A9matiques)" title="Segment (mathématiques)">segment</a>, alors que dans le plan (2 dimensions) l'objet géométrique clos le plus simple à 2 dimensions est le triangle, et dans l'espace (3 dimensions) l'objet géométrique clos le plus simple à 3 dimensions est le <a href="T%C3%A9tra%C3%A8dre" title="Tétraèdre">tétraèdre</a> (<a href="Pyramide" title="Pyramide">pyramide</a> à base triangulaire).

Plus exactement, un simplexe est l'<a href="Enveloppe_convexe" title="Enveloppe convexe">enveloppe convexe</a> d'un ensemble de (n+1) points utilisés pour former un <a href="Rep%C3%A8re_affine" title="Repère affine">repère affine</a> dans un <a href="Espace_affine" title="Espace affine">espace affine</a> de dimension n, ce qui signifie que :

<ul><li>sur une droite le repère sera fait d'une origine et de 1 point (généralement un repère (O, I), définissant l'unité de l'axe), et [OI] est un segment.</li>

<li>dans le plan le repère sera fait d'une origine et de 2 points (généralement un repère (O, I, J), définissant l'unité pour chaque axe), et OIJ est un triangle.</li>

<li>dans l'espace le repère sera fait d'une origine et de 3 points (généralement un repère (O, I, J, K), définissant l'unité pour chaque axe), et OIJK est un tétraèdre.</li></ul>

Les coordonnées des sommets du simplexe (dans le repère formé de ses sommets) sont alors :

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></dd>

Cependant, par souci de symétrie entre les sommets, on préfère souvent plonger le simplexe dans un <a href="Hyperplan" title="Hyperplan">hyperplan</a> affine de l'espace de dimension n+1, en attribuant à chaque sommet les n + 1 coordonnées suivantes :

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \vdots }</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f8039d9feb6596ae092e5305108722975060c083.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:0.647ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \vdots }" loading="lazy"></dd>

Le nombre n est appelé la dimension ou le degré ou même l'ordre du n-simplexe s.

Par exemple, un 0-simplexe est un <a href="Point_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Point (géométrie)">point</a>, un 1-simplexe est un segment, un 2-simplexe est un triangle, un 3-simplexe est un tétraèdre, un 4-simplexe est un <a href="Pentachore" title="Pentachore">pentachore</a> (ou pentatope), etc.

Comme le simplexe à 0 dimension est un <a href="Singleton_(math%C3%A9matiques)" title="Singleton (mathématiques)">singleton</a>, on attribue parfois à l'<a href="Ensemble_vide" title="Ensemble vide">ensemble vide</a> la dimension –1.

Soit donc s un simplexe formé par les points a0..., an. Un point x de s s'écrit de manière unique :

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}{t_{i}a_{i}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a3ddaa1b62ae63fbb0f88564027f897a5fa727dd.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:11.839ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle x=\sum _{i=0}^{n}{t_{i}a_{i}}}" loading="lazy"></dd></dl>

où les ti sont les coordonnées barycentriques positives ou nulles de x relatives à a0..., an. On remarque la ressemblance entre cette formule et celle de l'<a href="%C3%89quilibre_statique_(m%C3%A9canique)" title="Équilibre statique (mécanique)">équilibre</a> d'un objet en physique <a href="M%C3%A9canique_statique" class="mw-redirect" title="Mécanique statique">mécanique statique</a> : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \sum {{\vec {F}}_{ext}}={\vec {0}}}">

<msub>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<mover>

</mover>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum {{\vec {F}}_{ext}}={\vec {0}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ac091dd4c1ff82ccebcb500b9bd4ff20d66b3233.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:12.306ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \sum {{\vec {F}}_{ext}}={\vec {0}}}" loading="lazy">, qui dit que la somme des <a href="Forces_int%C3%A9rieures_et_forces_ext%C3%A9rieures" title="Forces intérieures et forces extérieures">forces extérieures</a> appliquées à un objet en équilibre est égale au vecteur nul. Cela vient du fait que l'objet, quel que soit l'intensité de ces n forces qui le tirent (qu'on peut se représenter comme n ressorts attachés à l'objet et aux n sommets d'un (n – 1)-simplexe), restera toujours dans ce simplexe : tout point du simplexe peut être défini par ces forces qui l'attirent plus ou moins vers tel ou tel sommet, d'où l'utilisation de la notion de <a href="Barycentre_(g%C3%A9om%C3%A9trie_%C3%A9l%C3%A9mentaire)" class="mw-redirect" title="Barycentre (géométrie élémentaire)">barycentre</a>. On notera de plus que, pour qu'un objet soit en équilibre, il doit nécessairement se trouver dans le simplexe formé par les points qui l'attirent ou qui le repoussent.

Un simplexe régulier est un simplexe qui est aussi un <a href="Polytope" title="Polytope">polytope</a> régulier (c'est-à-dire que toutes ses arêtes sont de même longueur, que ses faces sont de même nature géométrique, et s'organisent de la même façon dans les mêmes quantités à chaque sommet).

Le mot « simplexe » a été donné par <a href="Pieter_Hendrik_Schoute" class="mw-redirect" title="Pieter Hendrik Schoute">Pieter Hendrik Schoute</a> en <a href="1902" title="1902">1902</a>, mais <a href="Ludwig_Schl%C3%A4fli" title="Ludwig Schläfli">Ludwig Schläfli</a> avait déjà démontré l'existence des simplexes réguliers pour toute dimension n (donc des simplexes tout court) lorsqu'il a prouvé qu'il y avait toujours au moins trois polytopes réguliers pour toute dimension supérieure à 3 (à savoir le n-simplexe, ainsi que le n-<a href="Hypercube" title="Hypercube">hypercube</a> et le n-<a href="Hyperocta%C3%A8dre" title="Hyperoctaèdre">hyperoctaèdre</a>).

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Éléments">Éléments</h2></div>

Les éléments d'un simplexe sont appelés n-faces, où n est leur dimension :

<ul><li>les 0-faces sont appelées sommets</li>

<li>les 1-faces sont appelées arêtes</li>

<li>les 2-faces sont appelées faces</li>

<li>les 3-faces sont appelées cellules</li></ul>

Les (n – 1)-faces d'un n-simplexe forment son enveloppe.

Les n-faces d'un simplexe sont elles-mêmes des simplexes de dimensions inférieures. Par exemple, un tétraèdre a des faces triangulaires.

Quand on liste les n-faces des simplexes ainsi que leur nombre, on obtient un <a href="Triangle_de_Pascal" title="Triangle de Pascal">triangle de Pascal</a> :

<th>Simplexe

</th>

<th>Nombre de sommets

</th>

<th>Nombre d'arêtes

</th>

<th>Nombre de faces

</th>

<th>Nombre de cellules

</th>

<th>Nombre de 4-faces

</th>

<th>Nombre de 5-faces

</th>

<th>Nombre de 6-faces

</th></tr>

<tr>

<td width="12%">Point

</td>

<td width="12%">1

</td>

<td width="13%">-

</td>

<td width="13%">-

</td>

<td width="13%">-

</td>

<td width="13%">-

</td>

<td width="12%">-

</td>

<td width="12%">-

</td></tr>

<tr>

<td width="12%">Segment

</td>

<td width="12%">2

</td>

<td width="13%">1

</td>

<td width="13%">-

</td>

<td width="13%">-

</td>

<td width="13%">-

</td>

<td width="12%">-

</td>

<td width="12%">-

</td></tr>

<tr>

<td width="12%">Triangle

</td>

<td width="12%">3

</td>

<td width="13%">3

</td>

<td width="13%">1

</td>

<td width="13%">-

</td>

<td width="13%">-

</td>

<td width="12%">-

</td>

<td width="12%">-

</td></tr>

<tr>

<td width="12%">Tétraèdre

</td>

<td width="12%">4

</td>

<td width="13%">6

</td>

<td width="13%">4

</td>

<td width="13%">1

</td>

<td width="13%">-

</td>

<td width="12%">-

</td>

<td width="12%">-

</td></tr>

<tr>

<td width="12%">Pentachore

</td>

<td width="12%">5

</td>

<td width="13%">10

</td>

<td width="13%">10

</td>

<td width="13%">5

</td>

<td width="13%">1

</td>

<td width="12%">-

</td>

<td width="12%">-

</td></tr>

<tr>

<td width="12%">5 simplexe

</td>

<td width="12%">6

</td>

<td width="13%">15

</td>

<td width="13%">20

</td>

<td width="13%">15

</td>

<td width="13%">6

</td>

<td width="12%">1

</td>

<td width="12%">-

</td></tr>

<tr>

<td width="12%">6 simplexe

</td>

<td width="12%">7

</td>

<td width="13%">21

</td>

<td width="13%">35

</td>

<td width="13%">35

</td>

<td width="13%">21

</td>

<td width="12%">7

</td>

<td width="12%">1

</td></tr>

<tr>

<td>…

</td></tr></tbody></table>

Triangle de Pascal, dont une des caractéristiques est que la seconde colonne corresponde à chaque <a href="Nombre_triangulaire" title="Nombre triangulaire">nombre triangulaire</a>, la troisième à chaque <a href="Nombre_t%C3%A9tra%C3%A9drique" title="Nombre tétraédrique">nombre tétraédrique</a>, la quatrième à chaque <a href="Nombre_pentatopique" title="Nombre pentatopique">nombre pentatopique</a>…

Le nombre de sommets d'un n-simplexe vaut <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{0}=n+1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{0}=n+1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/704651b19f0f555e0f88f600d21304a6f18ce625.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:11.416ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{0}=n+1}" loading="lazy">, et le nombre de n-faces vaut toujours <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{n}=1}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{n}=1}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/48c86bb57a4b6465f49c71970e4b563560e4603b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.346ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{n}=1}" loading="lazy"> car il s'agit du simplexe lui-même. Le nombre d'arêtes d'un n-simplexe vaut <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{1}={\frac {n(n+1)}{2}}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{1}={\frac {n(n+1)}{2}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c85644c593bbbf107a1ddf0de3dd9c9bb53821d8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:15.457ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle N_{1}={\frac {n(n+1)}{2}}}" loading="lazy">, car il s'agit du nombre de paires de sommets différents que l'on peut réaliser.

Entre les nombres de chaque élément d'un simplexe, il y a une <a href="Relation_d'Euler" class="mw-redirect" title="Relation d'Euler">relation d'Euler</a> dans laquelle, en ajoutant les éléments de dimension paire (sommets, faces, 4-faces, 6-faces…) et en retranchant les éléments de dimension impaire (arêtes, cellules, 5-faces, 7-faces…), on obtient la <a href="Caract%C3%A9ristique_d'Euler-Poincar%C3%A9" class="mw-redirect" title="Caractéristique d'Euler-Poincaré">caractéristique d'Euler-Poincaré</a> du simplexe, qui vaut 0 pour les simplexes de degré pair et 2 pour les simplexes de degré impair :

</mrow>

</mrow>

</munderover>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}N_{i}\times (-1)^{i}=N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}+...+N_{n-1}(-1)^{n-1}=1-(-1)^{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/02894c54622bb7163d8f015c4f4cdb68b6d134e7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:71.231ex; height:7.343ex;" alt="{\displaystyle \sum _{i=0}^{n-1}N_{i}\times (-1)^{i}=N_{0}-N_{1}+N_{2}-N_{3}+...+N_{n-1}(-1)^{n-1}=1-(-1)^{n}}" loading="lazy">, où <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle N_{n-1}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle N_{n-1}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8eaf50be40aa31525ed54ee8784f0e5899f9457e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:5.185ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle N_{n-1}}" loading="lazy"> est le nombre de (n – 1)-faces (on utilise n – 1 dans la formule au lieu de n pour ne pas compter le n-simplexe lui-même et s'arrêter à ses éléments stricts).

<ul><li>Pour le segment : 2 points = 2</li>

<li>Pour le triangle : 3 points - 3 arêtes = 0</li>

<li>Pour le tétraèdre : 4 points - 6 arêtes + 4 faces = 2</li>

<li>Pour le pentachore : 5 points - 10 arêtes + 10 faces - 5 cellules = 0</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Représentations">Représentations</h2></div>

Les n-simplexes ayant souvent plus de dimensions que les objets que nous sommes habitués à voir dans la vie courante, on utilise différents moyens de représentation pour travailler plus facilement avec. Parmi ces représentations, on utilise souvent les projections d'un n-simplexe dans un espace de dimension inférieure (généralement 2 ou 3).

Il est impossible de représenter parfaitement un objet dans un espace qui a moins de dimensions que lui, donc il faut utiliser ces représentations avec prudence, certaines déforment les longueurs, les angles, voire la structure du simplexe, ou alors nous font voir des segments qui se croisent alors qu'en réalité ils ne se croisent pas.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Graphes">Graphes</h3></div>

La représentation en deux dimensions d'un n-simplexe est un <a href="Graphe_complet" title="Graphe complet">graphe complet</a>.

Pour tracer le graphe d'un n-simplexe, il suffit de relier tous entre eux n + 1 points.

Quand on a affaire au graphe d'un simplexe dont on ne connaît pas le degré, il suffit de compter le nombre de segments qui sont reliés à un sommet.

Pour passer du graphe d'un n-simplexe à celui d'un (n + 1)-simplexe, on ajoute un nouveau point et on relie tous les autres à celui-ci.

<caption>Graphes des premiers simplexes

</caption>

<td>Simplexe

</td>

<th>Segment

</th>

<th>Triangle

</th>

<th>Tétraèdre

</th>

<th>Pentatope

</th>

<th>5 simplexe

</th>

<th>6 simplexe

</th>

<th>7 simplexe

</th></tr>

<tr>

<td width="13%">Dimension

</td>

<td width="12%">1

</td>

<td width="12%">2

</td>

<td width="12%">3

</td>

<td width="12%">4

</td>

<td width="13%">5

</td>

<td width="13%">6

</td>

<td width="13%">7

</td></tr>

<tr>

<td width="13%">Sommets

</td>

<td width="12%">2

</td>

<td width="12%">3

</td>

<td width="12%">4

</td>

<td width="12%">5

</td>

<td width="13%">6

</td>

<td width="13%">7

</td>

<td width="13%">8

</td></tr>

<tr>

<td width="13%">Graphe

</td>

</td>

</td>

</td>

</td>

</td>

</td>

</td></tr></tbody></table>

Attention : le graphe n'étant qu'une <a href="Projection" class="mw-disambig" title="Projection">projection</a> du n-simplexe sur un plan, comme une ombre, les longueurs et les angles ne sont pas respectés : il faut s'imaginer que tous les segments sont de même longueur, et que tous les triangles qui relient 3 sommets sont équilatéraux si le simplexe est régulier. De plus, les diagonales du graphe ne se rencontrent jamais en réalité, mais passent devant ou derrière les autres.

Un graphe comme ceux-ci est aussi appelé <a href="Polygone_de_Petrie" title="Polygone de Petrie">polygone de Petrie</a> car il est obtenu par la projection orthogonale d'un polytope sur un plan.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Diagramme_de_Coxeter-Dynkin">Diagramme de Coxeter-Dynkin</h3></div>

Le <a href="Diagramme_de_Coxeter-Dynkin" title="Diagramme de Coxeter-Dynkin">diagramme de Coxeter-Dynkin</a> d'un n-simplexe est sous la forme :

…, avec n ronds (appelés nœuds) dans la chaîne.

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Symbole_de_Schläfli">Symbole de Schläfli</h3></div>

Le <a href="Symbole_de_Schl%C3%A4fli" title="Symbole de Schläfli">symbole de Schläfli</a> d'un n-simplexe est {3,3,3,..., 3,3}, avec n – 1 fois le nombre 3.

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Propriétés">Propriétés</h2></div>

<ul><li>Tout k-simplexe généré par un sous-ensemble de {a0, a1, … , an} (qui sont les sommets du simplexe s) est appelé k-face de s.</li>

<li>L'ensemble des faces de s différentes de s lui-même sont appelées faces propres de s, et leur union est appelée bord de s.</li>

<li>Un n-simplexe n'a pas de <a href="Diagonale" title="Diagonale">diagonales</a> car par définition, les n + 1 sommets d'un n-simplexe sont déjà reliés entre eux.</li>

<li>L'<a href="Isobarycentre" class="mw-redirect" title="Isobarycentre">isobarycentre</a> d'un n-simplexe est situé à <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{n+1}}}">

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{n+1}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/5d12abbdff5f3e0797022694d0e062b1727df3c7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.005ex; width:6.234ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle {\frac {1}{n+1}}}" loading="lazy"> des centres de ses (n – 1)-faces. Par exemple l'isobarycentre d'un segment est situé à 1/2 de ses extrémités, l'isobarycentre d'un triangle équilatéral est situé à 1/3 des milieux de ses côtés, l'isobarycentre d'un tétraèdre se situe à 1/4 des centres des faces...</li>

<li>Un simplexe est son propre <a href="Dualit%C3%A9_(math%C3%A9matiques)" title="Dualité (mathématiques)">dual</a>, ce qui signifie que lorsque l'on relie entre eux tous les centres des (n – 1)-faces d'un n-simplexe, on retombe sur le même simplexe, réduit d'un demi.</li>

<li>Si un simplexe possède un « coin droit » (c'est-à-dire que toutes les arêtes se rencontrant en un sommet sont perpendiculaires en elles), on peut alors utiliser la généralisation en n dimensions du théorème de Pythagore : « La somme des carrés des (n –1)-volumes des hyperfaces adjacentes au coin droit est égale au carré du (n –1)-volume opposé au coin droit ». Par exemple, dans un triangle ABC rectangle en A on a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/db4409ac5f1b61570346703ad85007f6b6a1fdb3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:19.711ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}}" loading="lazy">, dans une pyramide ABCD rectangle en A on a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle BCD^{2}=ABC^{2}+ABD^{2}+ACD^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BCD^{2}=ABC^{2}+ABD^{2}+ACD^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a027a23988db5c3e256423bc69053fdc1e2e5441.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:34.621ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle BCD^{2}=ABC^{2}+ABD^{2}+ACD^{2}}" loading="lazy">, et dans un pentatope ABCDE rectangle en A on a <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle BCDE^{2}=ABCD^{2}+ABCE^{2}+ABDE^{2}+ACDE^{2}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BCDE^{2}=ABCD^{2}+ABCE^{2}+ABDE^{2}+ACDE^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/275dd2c8e9ca24fe7acfa8a31eeadf8538aeadcc.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.505ex; width:52.857ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle BCDE^{2}=ABCD^{2}+ABCE^{2}+ABDE^{2}+ACDE^{2}}" loading="lazy">.</li>

<li><a href="Espace_topologique" title="Espace topologique">Topologiquement</a>, un n-simplexe est <a href="Hom%C3%A9omorphe" class="mw-redirect" title="Homéomorphe">homéomorphe</a> à une n-sphère. Chaque n-simplexe est une <a href="Vari%C3%A9t%C3%A9_(g%C3%A9om%C3%A9trie)" title="Variété (géométrie)">variété</a> convexe sans trous de dimension n. La <a href="Caract%C3%A9ristique_d'Euler" title="Caractéristique d'Euler">caractéristique d'Euler</a> de n'importe quel n-simplexe vaut donc 0 si n est pair et 2 si n est impair, comme pour la n-sphère.</li>

<li>Le groupe des <a href="Isom%C3%A9trie" title="Isométrie">isométries</a> du n-simplexe régulier est le <a href="Groupe_sym%C3%A9trique" title="Groupe symétrique">groupe symétrique</a> Sn+1.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Longueurs_remarquables_et_volume_du_n-simplexe_régulier">Longueurs remarquables et volume du n-simplexe régulier</h3></div>

<ul><li>La hauteur du n-simplexe régulier d'arête a est :

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f4e46985fc476e7f61dda63f55fd5cc93583155.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:15.443ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle h_{n}=a{\sqrt {\frac {n+1}{2n}}}}" loading="lazy"> ;</dd></dl></li>

<li>le rayon de l'<a href="Hypersph%C3%A8re" class="mw-redirect" title="Hypersphère">hypersphère</a> <a href="Sph%C3%A8re_circonscrite" title="Sphère circonscrite">circonscrite</a> est :

<msub>

</mrow>

</msub>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/755c914ae3333c017b33eeab54b9d20fcdd5e8ee.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.005ex; width:18.84ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle R_{n}=a{\sqrt {\frac {n}{2(n+1)}}}}" loading="lazy"> ;</dd></dl></li>

<li>le rayon de l'hypersphère <a href="Sph%C3%A8re_inscrite" title="Sphère inscrite">inscrite</a> est :

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/988da20511da1b8e54ded48b3e7d3d7cf2031e29.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:18.29ex; height:6.009ex;" alt="{\displaystyle r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}}" loading="lazy">.</dd></dl></li></ul>

<div class="NavHead" style="background-color:transparent; color:inherit; padding:0;">Démonstration</div><div class="NavContent" style="padding-bottom:0.4em">

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{n}=R_{n}+r_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/39cc301950b57470529c75744d89d4b33d4675aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:13.746ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{n}=R_{n}+r_{n}}" loading="lazy">.</li>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}=a^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8ef7ebc3bb62c44b2ee4c0da58051b2c986d7c28.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:15.863ex; height:3.509ex;" alt="{\displaystyle h_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}=a^{2}}" loading="lazy">

<dl><dd>car la hauteur est perpendiculaire à toute droite de la (n – 1)-base, donc également au rayon de la (n – 1)-sphère circonscrite de la (n – 1)-base, et l'arête de longueur a relie le sommet de la hauteur avec un sommet de la base, les trois forment un triangle rectangle, on applique tout simplement le <a href="Th%C3%A9or%C3%A8me_de_Pythagore" title="Théorème de Pythagore">théorème de Pythagore</a>.</dd></dl></li>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{n}^{2}=r_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/55f6cd169cb2773834ed5810aff64e20281aa308.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:16.271ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle R_{n}^{2}=r_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}}" loading="lazy">

<dl><dd>car le rayon de la n-sphère circonscrite relie le centre du n-simplexe à un sommet, le rayon de la sphère inscrite relie le centre du n-simplexe au centre de la base (comme la n-sphère inscrite est tangente au n-simplexe ce rayon est perpendiculaire à la base), et le rayon de la (n – 1)-sphère circonscrite à la base relie le centre de la base un sommet du n-simplexe, on applique encore le théorème de Pythagore.</dd></dl></li></ul>

Par récurrence, à partir de <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle R_{1}=a}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle R_{1}=a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3cfb591f2a3fc5f630bebaf923cab4b8f25a668f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:7.147ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle R_{1}=a}" loading="lazy">, on obtient les formules annoncées.

</div><div class="clear" style="clear:both;"></div>

</div>

Chaque simplexe possède un hypervolume qui correspond à son intérieur (pour le segment il s'agit de sa <a href="Longueur" title="Longueur">longueur</a>, pour le triangle de <a href="Aire_d'un_triangle" title="Aire d'un triangle">son aire</a>, pour le tétraèdre de son <a href="Volume" title="Volume">volume</a>). Le n-volume d'un n-simplexe est le produit d'une hauteur (distance entre un sommet et le centre de la (n – 1)-face opposée) et de la base correspondante ((n – 1)-volume de cette (n – 1)-face), divisé par la dimension du simplexe.

Si l'on note Vn le n-volume du n-simplexe régulier d'arête a, on a donc :

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{n}={\frac {h_{n}V_{n-1}}{n}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/37d609db98f3e5cd58d894088343b6aab3415894.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:13.74ex; height:5.343ex;" alt="{\displaystyle V_{n}={\frac {h_{n}V_{n-1}}{n}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

Par récurrence, à partir de la longueur d'un segment (<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{1}=a}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{1}=a}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f81ab9a01bd6f3054b9634dfb18252bf271ef477.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:6.738ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle V_{1}=a}" loading="lazy">) et de l'expression ci-dessus pour <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle h_{n}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle h_{n}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dc869ca124a4bbb264113f1b3b40d78e09c055be.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:2.557ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle h_{n}}" loading="lazy">, on en déduit :

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}\times {\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0f45982b505218d06f7497235bb619adb319dc88.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:20.354ex; height:6.176ex;" alt="{\displaystyle V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}\times {\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}}" loading="lazy">.</dd></dl>

<div style="margin:0.5em 2em;">Exemples :

<ul><li>l'aire du <a href="Triangle_%C3%A9quilat%C3%A9ral" title="Triangle équilatéral">triangle équilatéral</a> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{2}={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}\approx a^{2}\times 0{,}433}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{2}={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}\approx a^{2}\times 0{,}433}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/8844b0de5a673364e4cf20f722547d078f0a75aa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.246ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle V_{2}={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}\approx a^{2}\times 0{,}433}" loading="lazy"> ;</li>

<li>le volume du <a href="T%C3%A9tra%C3%A8dre_r%C3%A9gulier" title="Tétraèdre régulier">tétraèdre régulier</a> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{3}={\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{12}}\approx a^{3}\times 0{,}118}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{3}={\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{12}}\approx a^{3}\times 0{,}118}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/65f295198837b069e3f885b8e582feeac19f78e6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.246ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle V_{3}={\frac {a^{3}{\sqrt {2}}}{12}}\approx a^{3}\times 0{,}118}" loading="lazy"> ;</li>

<li>l'hypervolume du <a href="Pentachore" title="Pentachore">pentachore régulier</a> est : <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle V_{4}={\frac {a^{4}{\sqrt {5}}}{96}}\approx a^{4}\times 0{,}023}">

<msub>

</mrow>

</msub>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle V_{4}={\frac {a^{4}{\sqrt {5}}}{96}}\approx a^{4}\times 0{,}023}</annotation>

</semantics>

</math><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d8ea83a1f25a757f71edf91c7df7c9e67b4e1939.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:25.246ex; height:5.843ex;" alt="{\displaystyle V_{4}={\frac {a^{4}{\sqrt {5}}}{96}}\approx a^{4}\times 0{,}023}" loading="lazy">.</li></ul>

</div></div>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Annexes">Annexes</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Articles_connexes">Articles connexes</h3></div>

<ul><li>On parle aussi de simplexe pour désigner un algorithme permettant de résoudre les problèmes de programmation linéaire. Cet algorithme a été proposé par <a href="George_Dantzig" title="George Dantzig">George Dantzig</a> (voir <a href="Algorithme_du_simplexe" title="Algorithme du simplexe">Algorithme du simplexe</a>).</li>

<li>Autres n-<a href="Polytope" title="Polytope">polytopes</a> réguliers : <a href="Solide_de_Platon" title="Solide de Platon">Solide de Platon</a>, <a href="Solide_d'Archim%C3%A8de" title="Solide d'Archimède">Solide d'Archimède</a>, <a href="Polygone" title="Polygone">Polygone</a></li>

<li>En <a href="Th%C3%A9orie_des_graphes" title="Théorie des graphes">théorie des graphes</a> : voir <a href="Dimension_(th%C3%A9orie_des_graphes)" title="Dimension (théorie des graphes)">Dimension (théorie des graphes)</a></li>

<li>Grands mathématiciens qui ont étudié les polytopes : <a href="Leonhard_Euler" title="Leonhard Euler">Euler</a>, <a href="Henri_Poincar%C3%A9" title="Henri Poincaré">Poincaré</a>, <a href="Harold_Scott_MacDonald_Coxeter" title="Harold Scott MacDonald Coxeter">Coxeter</a>, <a href="Ludwig_Schl%C3%A4fli" title="Ludwig Schläfli">Schläfli</a>, <a href="Bernhard_Riemann" title="Bernhard Riemann">Riemann</a> (qui, en premier, en <a href="1854" title="1854">1854</a>, a présenté le concept de variété et d'espace de dimension n)</li>

<li><a href="Simplexit%C3%A9" title="Simplexité">Simplexité</a></li>

<li>L'hypervolume d'un simplexe quelconque en fonction des longueurs de arêtes est donné par le <a href="D%C3%A9terminant_de_Cayley-Menger" title="Déterminant de Cayley-Menger">déterminant de Cayley-Menger</a>.</li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Liens_externes">Liens externes</h3></div>

<ul><li>Robert Ferréol, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathcurve.com/polyedres/simplexe/simplexe.shtml"><cite style="font-style:normal;">Simplexe ou hypertétraèdre</cite></a> », sur Mathcurve</li>

<li><abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="Eric_W._Weisstein" title="Eric W. Weisstein">Eric W. Weisstein</a>, « <a rel="nofollow" class="external text" href="http://mathworld.wolfram.com/Simplex.html"><cite style="font-style:normal;" lang="en">Simplex</cite></a> », sur <a href="MathWorld" title="MathWorld">MathWorld</a></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Bibliographie">Bibliographie</h3></div>

<abbr class="abbr indicateur-langue" title="Langue : anglais">(en)</abbr> <a href="James_Munkres" title="James Munkres">James Munkres</a>, <cite class="italique" lang="en">Elements of Algebraic Topology</cite> (<a rel="nofollow" class="external text" href="http://webmath2.unito.it/paginepersonali/sergio.console/Dispense/Elements%20of%20Algebraic%20Topology%20-%20James%20R.%20Munkres.pdf">lire en ligne</a>)<span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook&rft.genre=book&rft.btitle=Elements+of+Algebraic+Topology&rft.aulast=Munkres&rft.aufirst=James&rft_id=http%3A%2F%2Fwebmath2.unito.it%2Fpaginepersonali%2Fsergio.console%2FDispense%2FElements%2520of%2520Algebraic%2520Topology%2520-%2520James%2520R.%2520Munkres.pdf&rfr_id=info%3Asid%2Ffr.wikipedia.org%3ASimplexe">

</div>

<ul id="bandeau-portail" class="bandeau-portail"><li> Portail de la géométrie </li> </ul></div><div><div class="zim-footer">

Cet article est issu de <a class="external text" title="Dernière modification le 2025-09-28" href="https://fr.wikipedia.org/wiki/?title=Simplexe&oldid=229332484">Wikipédia</a>. Sauf mention contraire, le texte est disponible sous <a class="external text" href="https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/deed.fr">Creative Commons Attribution-Share Alike 4.0</a>. Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.

</div>

</div></div>

</div>

</main>

</div>

</body></html>